Définition d'un vecteur

Un vecteur est une quantité avec à la fois une grandeur (taille) et une direction. Géométriquement, un vecteur peut être représenté par un segment de droite orienté, dont la direction pointe dans la direction du vecteur et dont la longueur est proportionnelle à la magnitude du vecteur.

Comment écrire un vecteur

Un vecteur peut s'écrire de plusieurs manières. Une méthode consiste à utiliser des caractères gras, par ex.

. Vous pouvez également utiliser un soulignement (

) ou une flèche dessinée au-dessus d'une lettre (

). Si le symbole d'un vecteur est écrit sans ceux-ci, il est considéré comme la grandeur du vecteur.

Deux vecteurs qui ont la même longueur et la même direction sont égaux. Dans le schéma ci-dessous,

.

Comment trouver les composants d'un vecteur

Pour trouver la composante d'un vecteur dans une direction donnée, tracez une ligne parallèle à la direction requise, passant par l'extrémité «queue» du vecteur. Ensuite, tracez une ligne perpendiculaire du « nez » du vecteur sur cette ligne. La composante du vecteur dans la direction donnée est donc la longueur de la ligne allant de la "queue" du vecteur à la ligne perpendiculaire tombée.

Par exemple, sur le schéma ci-dessous, la composante du vecteur

le long de la

-axe est

et le composant le long de la

-axe est

.

De la trigonométrie, on a:

et,

Généralement, si un vecteur de magnitude

fait un angle

dans une direction donnée, alors la composante du vecteur le long de cette direction est

, et la composante du vecteur dans la direction perpendiculaire à cette direction est

.

Exemple

Un avion décolle à une vitesse de 253 km h^-1, faisant un angle de 15^o à la piste. En supposant que le soleil brille directement au-dessus de votre tête, trouvez la vitesse de l'ombre de l'avion le long de la piste.

La vitesse de l'ombre est la composante de la vitesse de l'avion le long de la piste. Étant donné que l'avion se déplace à un angle de 15^o à la piste, la vitesse de l'ombre est alors

km h^-1.

Inversement, si les composantes d'un vecteur le long de deux directions perpendiculaires sont connues, nous pouvons utiliser une trigonométrie simple pour trouver l'angle que fait le vecteur le long de l'une des directions, et nous pouvons également calculer la taille du vecteur d'origine.

Exemple

Une tondeuse à gazon est poussée le long du sol, avec une force

exercé le long de la poignée. Les composantes verticale et horizontale de la force sont respectivement de 30,6 N et 25,7 N. Trouver a) taille de la force

et b) l'angle

que la tondeuse à gazon fait avec le sol.

Premièrement, pour trouver la taille de la force, nous utilisons le théorème de Pythagore:

N.

L'angle

est donné par

Comment représenter les vecteurs dans le système de coordonnées cartésiennes

Si les composantes d'un vecteur

le long de la

,

et

les axes sont

,

et

respectivement, le vecteur peut être écrit comme

.

Comment trouver la magnitude d'un vecteur

Ordre de grandeur fait référence à la taille du vecteur, sans tenir compte de sa direction. La grandeur d'un vecteur

s'écrit comme

. Si la lettre est simplement écrite comme

, ceci est également pris pour indiquer l'amplitude du vecteur.

Si un vecteur

, puis sa grandeur

.

Exemple

Le vecteur champ électrique en un point est donné par

NC^-1. Trouver l'amplitude du champ électrique.

NC^-1.

Que sont les vecteurs unitaires

UNE vecteur unitaire est un vecteur de magnitude 1 unité. Les vecteurs unitaires sont souvent écrits avec un « chapeau » au-dessus de la lettre. par exemple.

. Le vecteur unitaire le long de la direction d'un vecteur

, est défini comme:

En particulier, sur le système de coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires le long de la

,

et

les axes s'écrivent

,

et

respectivement.

En utilisant ces vecteurs unitaires, un vecteur dans le système de coordonnées cartésiennes à 3 dimensions peut être écrit comme une somme de 3 vecteurs le long de la

,

et

directions. Ceci est fait en prenant les composants du vecteur le long

,

et

axes, et en multipliant chaque composante par le vecteur unitaire de l'axe correspondant.

Par exemple, le vecteur

peut être écrit comme

.

Comment ajouter et soustraire des vecteurs