Dans cet article, nous verrons comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical. Les principes utilisés pour résoudre ces problèmes sont les mêmes que ceux utilisés pour résoudre les problèmes impliquant l'accélération centripète et la force centripète. Contrairement aux cercles horizontaux, les forces agissant sur les cercles verticaux varient au fur et à mesure qu'ils se déplacent. Nous considérerons deux cas pour des objets se déplaçant en cercles verticaux: lorsque les objets se déplacent à vitesse constante et lorsqu'ils se déplacent à des vitesses variables.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical pour les objets se déplaçant à une vitesse constante

Si un objet se déplace à vitesse constante dans un cercle vertical, alors la force centripète sur l'objet,

reste le même. Par exemple, pensons à un objet avec une masse

qui est balancé dans un cercle vertical en l'attachant à une ficelle de longueur

. Ici donc,

est aussi le rayon du mouvement circulaire. Il y aura une tension

agissant toujours le long de la corde, pointée vers le centre du cercle. Mais la valeur de cette tension variera constamment, comme nous le verrons plus loin.

Mouvement circulaire vertical d'un objet à vitesse constante v

Considérons l'objet lorsqu'il se trouve en haut et en bas de sa trajectoire circulaire. Le poids de l'objet,

, et la force centripète (pointée au centre du cercle) restent les mêmes.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Tension d'objet à vitesse constante en haut et en bas

La tension est maximale lorsque l'objet est au fond. C'est là que la ficelle est le plus susceptible de se casser.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical pour les objets se déplaçant à une vitesse variable

Pour ces cas, nous considérons le changement d'énergie de l'objet lorsqu'il se déplace autour du cercle. Au sommet, l'objet a le plus d'énergie potentielle. Lorsque l'objet descend, il perd de l'énergie potentielle, qui est convertie en énergie cinétique. Cela signifie que l'objet accélère en descendant.

Supposons qu'un objet attaché à une ficelle se déplace dans un cercle vertical avec une vitesse variable telle que, au sommet, l'objet a juste assez de vitesse

maintenir sa trajectoire circulaire. Ci-dessous, nous allons dériver des expressions pour la vitesse minimale de cet objet en haut, la vitesse maximale (quand il est en bas) et la tension de la corde lorsqu'elle est en bas.

Au sommet, la force centripète est descendante et

. L'objet aura juste assez de vitesse pour maintenir sa trajectoire circulaire si la corde est sur le point de se relâcher lorsqu'elle est au sommet. Dans ce cas, la tension de la corde

est presque 0. En insérant cela dans l'équation de la force centripète, nous aurons

. Puis,

.

Lorsque l'objet est au fond, son énergie cinétique est plus grande. Le gain en énergie cinétique est égal à la perte en énergie potentielle. L'objet tombe d'une hauteur de

quand il atteint le fond, donc le gain en énergie cinétique est

. Puis,

.

Depuis notre

, on a

Ensuite, nous regardons la tension de la corde en bas. Ici, la force centripète est dirigée vers le haut. On a alors

. Substitution

, on a

.

En simplifiant davantage, nous nous retrouvons avec:

.

Problèmes de mouvement circulaire vertical - Exemple

Seaux d'eau oscillants au-dessus de la tête

Un seau d'eau peut être balancé au-dessus de la tête sans que l'eau ne tombe s'il est déplacé à une vitesse suffisamment grande. Le poids

de l'eau essaie de tirer l'eau vers le bas; cependant, la force centripète

essaie de garder l'objet dans le chemin circulaire. La force centripète elle-même est composée du poids et de la force de réaction normale agissant sur l'eau. L'eau restera sur le chemin circulaire aussi longtemps que

.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Balancer un seau d'eau

Si la vitesse est faible, telle que

, alors tout le poids n'est pas "utilisé" pour créer la force centripète. L'accélération vers le bas est supérieure à l'accélération centripète, et donc l'eau va tomber.

Le même principe est utilisé pour empêcher les objets de tomber lorsqu'ils effectuent des mouvements de « boucle dans la boucle » comme on le voit, par exemple, dans les montagnes russes et dans les spectacles aériens où les pilotes cascadeurs font voler leurs avions en cercles verticaux, les avions voyageant « à l'envers vers le bas » lorsqu'ils atteignent le sommet.

Exemple 1

Le London Eye est l'une des plus grandes roues de la Terre. Il a un diamètre de 120 m et tourne à une vitesse d'environ 1 tour complet toutes les 30 minutes. Étant donné qu'il se déplace à une vitesse constante, Find

a) la force centripète sur un passager de masse 65 kg

b) la force de réaction du siège lorsque le passager est au sommet du cercle

c) la force de réaction du siège lorsque le passager est en bas du cercle

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Exemple 1

Remarque: dans cet exemple particulier, la force de réaction change très peu, car la vitesse angulaire est assez lente. Cependant, notez que les expressions utilisées pour calculer les forces de réaction en haut et en bas sont différentes. Cela signifie que les forces de réaction seraient considérablement différentes lorsque des vitesses angulaires plus grandes sont impliquées. La plus grande force de réaction serait ressentie au bas du cercle.

Problèmes de mouvement circulaire vertical – Exemple – The London Eye

Exemple 2

Un sac de farine d'une masse de 0,80 kg est balancé en cercle vertical par une ficelle de 0,70 m de long. La vitesse du sac varie au fur et à mesure qu'il se déplace autour du cercle.

a) Montrer qu'une vitesse minimale de 3,2 m s^-1 est suffisant pour maintenir le sac dans l'orbite circulaire.

b) Calcule la tension de la ficelle lorsque le sac est au sommet du cercle.

c) Trouver la vitesse du sac à un instant où la corde s'est déplacée vers le bas d'un angle de 65^o du haut.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Exemple 2