Comment multiplier les vecteurs
Table des matières:
- Comment multiplier des vecteurs par un scalaire
- Comment trouver le produit scalaire de deux vecteurs
- Comment trouver le produit croisé de deux vecteurs
Nous allons examiner trois façons de multiplier les vecteurs. Tout d'abord, nous examinerons la multiplication scalaire des vecteurs. Ensuite, nous examinerons la multiplication de deux vecteurs. Nous allons apprendre deux façons différentes de multiplier des vecteurs, en utilisant le produit scalaire et le produit vectoriel.
Comment multiplier des vecteurs par un scalaire
Lorsque vous multipliez un vecteur par un scalaire, chaque composant du vecteur est multiplié par le scalaire.
Supposons que nous ayons un vecteur
, qui doit être multiplié par le scalaire
. Ensuite, le produit entre le vecteur et le scalaire s'écrit sous la forme
. Si
, alors la multiplication augmenterait la longueur de
par un facteur
. Si
, puis, en plus d'augmenter l'ampleur de
par un facteur
, la direction du vecteur serait également inversée.
En ce qui concerne les composants vectoriels, chaque composant est multiplié par le scalaire. Par exemple, si un vecteur
, alors
.
Exemple
Le vecteur élan
d'un objet est donné par
, où
est la masse de l'objet et
est le vecteur vitesse. Pour un objet d'une masse de 2 kg ayant une vitesse de
Mme-1, trouvez le vecteur quantité de mouvement.
L'élan est
kg m s-1.
Comment trouver le produit scalaire de deux vecteurs
Les produit scalaire (également connu sous le nom de produit scalaire) entre deux vecteurs
et
s'écrit comme
. Ceci est défini comme,
où
est l'angle entre les deux vecteurs s'ils sont placés queue à queue comme indiqué ci-dessous:
Le produit scalaire entre deux vecteurs donne une quantité scalaire. Géométriquement, cette quantité est égale au produit de la magnitude de la projection d'un vecteur sur l'autre et de la magnitude de l'« autre » vecteur:
En utilisant les composantes des vecteurs le long du plan cartésien, nous pourrions obtenir le produit scalaire comme suit. Si le vecteur
et
, alors le produit scalaire
Exemple
Vecteur
et
. Trouve
.
Exemple
Le travail fait
par une force
, lorsqu'il provoque un déplacement
car un objet est donné par,
. Supposons une force de
N provoque le mouvement d'un corps dont le déplacement sous la force est
m. Trouvez le travail accompli par la force.
J.
Exemple
Trouver l'angle entre les deux vecteurs
et
.
De la définition du produit scalaire,
. Ici nous avons
et
.
Puis,
.
Si deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre, alors l'angle
entre eux est de 90o. Dans ce cas,
et donc le produit scalaire devient 0. En particulier, pour les vecteurs unitaires dans le système de coordonnées cartésiennes, on note que,
Pour les vecteurs parallèles, l'angle
entre eux est 0o. Dans ce cas,
et le produit scalaire devient simplement le produit des grandeurs des vecteurs. En particulier,
Le produit scalaire est commutatif. c'est à dire.
.
Le produit scalaire est également distributif. c'est à dire.
.
Comment trouver le produit croisé de deux vecteurs
Les produit croisé (également connu sous le nom de produit vectoriel) entre deux vecteurs
et
s'écrit comme
. Ceci est défini comme,
Le produit vectoriel ou le produit croisé, contrairement au produit scalaire, donne un vecteur comme réponse. La formule ci-dessus donne l'amplitude du vecteur. Pour obtenir la direction de ce vecteur, imaginez tourner un tournevis de la direction du premier vecteur vers la direction du deuxième vecteur. La direction dans laquelle le tournevis « entre » est la direction du produit vectoriel.
Par exemple, dans le diagramme ci-dessus, le produit vectoriel est
pointera vers la page, tandis que
indiquera hors de la page.
Clairement, alors, le produit vectoriel n'est pas commutatif. Plutôt,
.
Le produit vectoriel entre deux vecteurs parallèles est 0. C'est parce que l'angle
entre eux est 00, faire le
.
En ce qui concerne les vecteurs unitaires, on a alors
Aussi, nous avons
En ce qui concerne les composants, le produit vectoriel est donné par,
Exemple
Trouver le produit croisé entre vecteurs
et
.
.
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