Dans cet article, nous verrons comment trouver la vitesse angulaire. Avant de le faire, il est important de se familiariser avec l'utilisation des radians, qui est une unité que nous utilisons pour mesurer les angles.

Mesure en radian d'un angle

Dans les situations de tous les jours, nous sommes habitués à mesurer les angles en degrés. Nous divisons un cercle en 360 portions, et nous définissons un degré comme étant l'angle sous-tendu par un arc, dont la longueur est

de la circonférence du cercle.

Mais pourquoi le nombre 360 ​​? 360 est un nombre qui est facilement divisible par de nombreux nombres entiers, donc souvent, les calculs impliquant des angles mesurés en degrés peuvent être simplifiés en fractions plus simples. Cependant, il n'y a pas de réelle raison physique pour diviser un cercle en 360 parties. En fait, utiliser des degrés pour mesurer des angles dans des problèmes de calcul peut devenir fastidieux. Il est préférable d'utiliser une unité pour mesurer les angles qui est définie par les propriétés d'un cercle seul.

Radians sont une telle unité. En physique et en mathématiques plus avancées, les problèmes impliquant des angles sont traités en radians la plupart du temps. Par défaut, les calculs d'angle dans le tableur sont également donnés en radians. Les calculatrices scientifiques ont également un mode radian qui nous permet de faire des calculs directement en radians.

Alors, qu'est-ce qu'un radian ? UNE le radian est défini comme l'angle sous-tendu par un arc dont la longueur est égale à la longueur du rayon du cercle.

Définition du radian

Cette définition donne une propriété intéressante. Dans un cercle de rayon

, la durée

d'un arc qui sous-tend un angle de

radians est donné par,

Trouver la longueur de l'arc en utilisant le radian

Les radians sont un sans dimension unité, car c'est un rapport de deux longueurs. Les unités de chacune des longueurs s'annulent lorsque nous prenons le rapport.

Considérons un demi-cercle. L'angle sous-tendu par un demi-cercle est de 180^o. Puisque la circonférence d'un cercle est donnée par

, la longueur de l'arc du demi-cercle est

. Parce que

, on a

. Cela signifie qu'un angle de 180^o est équivalent à

radians.

Nous pouvons utiliser ce facteur de conversion pour convertir n'importe quel angle donné en degrés en radians, et vice versa.

Exemple 1

Trouvez la taille d'un angle de 1 radian en degrés.

Convertir des radians en degrés

Comment trouver la vitesse angulaire

Si un objet se déplaçant en cercle à une vitesse constante balaie un angle de

en un temps de

, les vitesse angulaire

de l'objet est défini comme,

L'unité de vitesse angulaire est radians par seconde (rad s^-1)

Le temps mis par un objet se déplaçant sur une trajectoire circulaire pour parcourir un cycle complet est appelé la période,

. En d'autres termes, l'objet se déplace sur un angle de 360^o, c'est à dire.

radians, pendant ce temps. En utilisant l'équation précédente, alors, nous pouvons écrire:

Souvent, les vitesses angulaires des objets sont données en termes de nombre de tours par minute (tr/min). Pour faire des calculs, il est parfois nécessaire de convertir cette valeur en radians par seconde. Pour ce faire, nous utilisons le fait qu'un tour est égal à 360^o.

La fréquence

est le nombre total de tours par unité de temps. Il est défini,

et a des unités hertz (Hz). 1 tour par seconde = 1 Hz.

Depuis

,

Exemple 2

Une fraise dentaire tourne à une vitesse de 200 000 tr/min. Trouvez sa vitesse angulaire en radians par seconde.

Comment trouver la vitesse angulaire - Exemple 2

Comment trouver la vitesse d'un objet en mouvement circulaire

La vitesse angulaire donne l'angle qu'un objet se déplaçant dans une trajectoire circulaire balaie par seconde. Les la vitesse de l'objet (parfois appelée « vitesse linéaire ») est toujours la distance que l'objet parcourt par unité de temps. Si l'objet parcourt une longueur

le long de la circonférence du cercle pendant un temps

, puis la vitesse

de l'objet est,

Depuis

, nous pouvons écrire,

Depuis

, nous pouvons écrire

C'est la relation entre la vitesse angulaire d'un objet

et sa vitesse,

.

A un instant donné, la direction de la vitesse de la paticule est tangente à la trajectoire circulaire. Si vous faites pivoter quelque chose dans un cercle et que vous le lâchez soudainement, l'objet s'envolerait de manière tangente au cercle. Pour cette raison, la vitesse de l'objet est également appelée vitesse tangentielle.

Exemple 3

Le London Eye est l'une des plus grandes roues de la Terre. Il a un diamètre de 120 m et tourne à une vitesse d'environ 1 tour complet toutes les 30 minutes. Trouvez la vitesse d'un passager voyageant dessus.

Comment trouver la vitesse angulaire - Exemple 3

Calcul de la vitesse angulaire – Exemples supplémentaires

Exemple 4

Un lecteur DVD fait tourner un DVD à 1600 tr/min. Trouvez la période de rotation du DVD.

Ici, il n'est pas nécessaire de convertir les tr/min en radians par seconde. La période peut être calculée directement.

Comment trouver la vitesse angulaire - Exemple 4

Exemple 5

La trotteuse d'une horloge tourne doucement en rond. Une fourmi est assise sur le bord de la main. Si la fourmi se déplace à une vitesse de 2 cm s^-1, trouvez la longueur de la trotteuse.

Comment trouver la vitesse angulaire – Exemple 5

Notez que dans le calcul ci-dessus, il n'était pas nécessaire de convertir la vitesse en mètres par seconde. Puisque nous avons gardé les unités en centimètres, notre réponse est également en centimètres.